Algèbre linéaire Exemples

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 & 1 & - 2 & 3 1 & \frac{1}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{3}{4} 2 & \frac{1}{2} & - 1 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 4 & 1 & - 2 & 3 \\ 1 & \frac{1}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{3}{4} \\ 2 & \frac{1}{2} & - 1 & 1 \end{array}]$

Étape 1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the matrix.

$\sqrt{4^{2} + 1^{2} + {(- 2)}^{2} + 3^{2} + 1^{2} + {(\frac{1}{4})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Élevez

$4$ à la puissance

$2$ .

$\sqrt{16 + 1^{2} + {(- 2)}^{2} + 3^{2} + 1^{2} + {(\frac{1}{4})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Étape 2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{16 + 1 + {(- 2)}^{2} + 3^{2} + 1^{2} + {(\frac{1}{4})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Étape 2.3

Élevez

$- 2$ à la puissance

$2$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 3^{2} + 1^{2} + {(\frac{1}{4})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Étape 2.4

Élevez

$3$ à la puissance

$2$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1^{2} + {(\frac{1}{4})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Étape 2.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + {(\frac{1}{4})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Étape 2.6

Appliquez la règle de produit à

$\frac{1}{4}$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1^{2}}{4^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Étape 2.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{4^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Étape 2.8

Élevez

$4$ à la puissance

$2$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Étape 2.9

Utilisez la règle de puissance

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.9.1

Appliquez la règle de produit à

$- \frac{1}{2}$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Étape 2.9.2

Appliquez la règle de produit à

$\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Étape 2.10

Élevez

$- 1$ à la puissance

$2$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + 1 \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Étape 2.11

Multipliez

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ par

$1$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Étape 2.12

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{2^{2}} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Étape 2.13

Élevez

$2$ à la puissance

$2$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Étape 2.14

Appliquez la règle de produit à

$\frac{3}{4}$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{3^{2}}{4^{2}} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Étape 2.15

Élevez

$3$ à la puissance

$2$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{4^{2}} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Étape 2.16

Élevez

$4$ à la puissance

$2$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Étape 2.17

Élevez

$2$ à la puissance

$2$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Étape 2.18

Appliquez la règle de produit à

$\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Étape 2.19

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{2^{2}} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Étape 2.20

Élevez

$2$ à la puissance

$2$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Étape 2.21

Élevez

$- 1$ à la puissance

$2$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1^{2}}$

Étape 2.22

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Étape 2.23

Additionnez

$16$ et

$1$ .

$\sqrt{17 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Étape 2.24

Additionnez

$17$ et

$4$ .

$\sqrt{21 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Étape 2.25

Additionnez

$21$ et

$9$ .

$\sqrt{30 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Étape 2.26

Additionnez

$30$ et

$1$ .

$\sqrt{31 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Étape 2.27

Pour écrire

$31$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{31 \cdot \frac{16}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Étape 2.28

Associez

$31$ et

$\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{31 \cdot 16}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Étape 2.29

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{31 \cdot 16 + 1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Étape 2.30

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.30.1

Multipliez

$31$ par

$16$ .

$\sqrt{\frac{496 + 1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Étape 2.30.2

Additionnez

$496$ et

$1$ .

$\sqrt{\frac{497}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Étape 2.31

Pour écrire

$\frac{1}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{497}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Étape 2.32

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun

$16$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de

$1$ .

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Étape 2.32.1

Multipliez

$\frac{1}{4}$ par

$\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{497}{16} + \frac{4}{4 \cdot 4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Étape 2.32.2

Multipliez

$4$ par

$4$ .

$\sqrt{\frac{497}{16} + \frac{4}{16} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Étape 2.33

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{497 + 4}{16} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Étape 2.34

Additionnez

$497$ et

$4$ .

$\sqrt{\frac{501}{16} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Étape 2.35

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{501 + 9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Étape 2.36

Additionnez

$501$ et

$9$ .

$\sqrt{\frac{510}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Étape 2.37

Pour écrire

$4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{510}{16} + 4 \cdot \frac{16}{16} + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Étape 2.38

Associez

$4$ et

$\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{510}{16} + \frac{4 \cdot 16}{16} + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Étape 2.39

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{510 + 4 \cdot 16}{16} + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Étape 2.40

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.40.1

Multipliez

$4$ par

$16$ .

$\sqrt{\frac{510 + 64}{16} + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Étape 2.40.2

Additionnez

$510$ et

$64$ .

$\sqrt{\frac{574}{16} + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Étape 2.41

Pour écrire

$\frac{1}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{574}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4} + 1 + 1}$

Étape 2.42

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun

$16$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de

$1$ .

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Étape 2.42.1

Multipliez

$\frac{1}{4}$ par

$\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{574}{16} + \frac{4}{4 \cdot 4} + 1 + 1}$

Étape 2.42.2

Multipliez

$4$ par

$4$ .

$\sqrt{\frac{574}{16} + \frac{4}{16} + 1 + 1}$

Étape 2.43

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{574 + 4}{16} + 1 + 1}$

Étape 2.44

Additionnez

$574$ et

$4$ .

$\sqrt{\frac{578}{16} + 1 + 1}$

Étape 2.45

Écrivez

$1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{578}{16} + \frac{16}{16} + 1}$

Étape 2.46

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{578 + 16}{16} + 1}$

Étape 2.47

Additionnez

$578$ et

$16$ .

$\sqrt{\frac{594}{16} + 1}$

Étape 2.48

Écrivez

$1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{594}{16} + \frac{16}{16}}$

Étape 2.49

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{594 + 16}{16}}$

Étape 2.50

Additionnez

$594$ et

$16$ .

$\sqrt{\frac{610}{16}}$

Étape 2.51

Annulez le facteur commun à

$610$ et

$16$ .

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Étape 2.51.1

Factorisez

$2$ à partir de

$610$ .

$\sqrt{\frac{2 (305)}{16}}$

Étape 2.51.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.51.2.1

Factorisez

$2$ à partir de

$16$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 305}{2 \cdot 8}}$

Étape 2.51.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 305}{2 \cdot 8}}$

Étape 2.51.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{305}{8}}$

Étape 2.52

Réécrivez

$\sqrt{\frac{305}{8}}$ comme

$\frac{\sqrt{305}}{\sqrt{8}}$ .

$\frac{\sqrt{305}}{\sqrt{8}}$

Étape 2.53

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.53.1

Réécrivez

$8$ comme

$2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.53.1.1

Factorisez

$4$ à partir de

$8$ .

$\frac{\sqrt{305}}{\sqrt{4 (2)}}$

Étape 2.53.1.2

Réécrivez

$4$ comme

$2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{305}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Étape 2.53.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{\sqrt{305}}{2 \sqrt{2}}$

Étape 2.54

Multipliez

$\frac{\sqrt{305}}{2 \sqrt{2}}$ par

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{305}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 2.55

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.55.1

Multipliez

$\frac{\sqrt{305}}{2 \sqrt{2}}$ par

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 2.55.2

Déplacez

$\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 2.55.3

Élevez

$\sqrt{2}$ à la puissance

$1$ .

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Étape 2.55.4

Élevez

$\sqrt{2}$ à la puissance

$1$ .

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Étape 2.55.5

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 2.55.6

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 2.55.7

Réécrivez

${\sqrt{2}}^{2}$ comme

$2$ .

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Étape 2.55.7.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{2}$ comme

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.55.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.55.7.3

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$2$ .

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.55.7.4

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 2.55.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.55.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Étape 2.55.7.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.56

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.56.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{305 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.56.2

Multipliez

$305$ par

$2$ .

$\frac{\sqrt{610}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.57

Multipliez

$2$ par

$2$ .

$\frac{\sqrt{610}}{4}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{610}}{4}$

Forme décimale :

$6.17454451 \dots$